0 数学 一/ 人教版小学数学知识点归纳 第一章 数和数的运算 一 概念 (一)整数 1、 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 、自然数 (?负数是自然数吗?) 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数。 一个物体也没有,用0表示。0也是自然数。 (?如果0也是自然数,那为什么要说自然数和0都是整数,直接说自然数就是整数不就行了?) 3、计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 二进制是电脑中最常用的,但电脑中最实用的应该是3进进制,这样速度可以快1.5倍? 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。 (谁在哪一位168,百位是1,十位是6,个位是8) 5、数的整除(除数永远不能是0,在电脑中如果除数是0,程序就直接异常退出!!!) 整数a除以整数b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。 例如15÷3=5,所以15能被3整除,3能整除15。 如果数a能被数b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。 -一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。 -一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 数论: 个位上是0、2、4、6、8的数,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。。 个位上是0或5的数,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。 能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。 自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数, 100以内的质数有(多少个):2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 finished 1/ 一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数, 例如 4、6、8、9、12都是合数 1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。 如果把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数, 例如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。 其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数, 例如12的约数有1、2、3、4、6、12; 18的约数有1、2、3、6、9、18。 其中,1、2、3、6是12和18的公因数, 6是它们的最大公因数。 公约数只有1的两个数,叫做互质数, 成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1和任何自然数互质。 相邻的两个自然数互质。 两个不同的质数互质。 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质, 如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。 如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数, 如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、 …… 3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数, 6是它们的最小公倍数。。 如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。 (二)小数 1 、小数的意义(坐标线上整数中间的点) 把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。 一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几…… 在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位"十分之一" 和整数部分的最低单位"一"之间的进率也是10。 2、小数的分类 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。 例如: 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如: 3.99 ……的循环节是" 9 " , 0.5454 ……的循环节是" 54 " 。 (三)分数 1 、分数的意义 把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 在分数里,中间的横线叫做分数线; 分数线下面的数,叫做分母,表示把单位"1"平均分成多少份; 分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。 ?把单位"1"平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。 2 、分数的分类 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。 (四)百分数 1 、表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。 百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。 二 方法 (一)数的读法和写法 1. 整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。 读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加一个"亿"或"万"字。 每一级末尾的0都不读出来, 其它数位连续有几个0都只读一个零。 2. 整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。 3. 小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读, 小数点读作"点",小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。 4. 小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。 5. 分数的读法:读分数时,先读分母再读"分之"然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。 6. 分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。 7. 百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。 8. 百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号"%"来表示。 (二)数的改写(算术) 一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用"万"或"亿"作单位的数。有时还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。 1. 准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。 2. 近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近似数来表示。 例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。 3. 四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数的最高位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。例如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。 (三)数的互化(算术) 1. 小数化成分数:原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。 2. 分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。 3. 一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有2和5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。 4. 小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。 5. 百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。 6. 分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。 7. 百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。 (四)数的整除 1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。 先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。 2. 求几个数的最大公因数的方法是: 先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公因数1为止, 然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 。 3. 求几个数的最小公倍数的方法是: 先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除, 一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积, 这个积就是这几个数的最小公倍数。 4. 成为互质关系的两个数: 1和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有1时,这两个合数互质。 (五) 约分和通分 约分的方法:用分子和分母的公约数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。 通分的方法:先求出原来的几个分数分母的最小公倍数, 然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 三 性质和规律 (一)商不变的规律 商不变的规律:在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。 (二)小数的性质 小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。 (三)小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位,原来的数就扩大10倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大100倍;…… 2. 小数点向左移动一位,原来的数就缩小10倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小100倍;…… 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时,要用"0"补足位。 (四)分数的基本性质 分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。 (五)分数与除法的关系 1. 被除数÷除数= 被除数/除数 2. 因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。 3. 被除数相当于分子,除数相当于分母。 四 运算的意义 (一)整数四则运算 1 整数加法: 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部分数,和是总数。 加数+加数=和 一个加数=和－另一个加数 2 整数减法: 已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。 在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。 被减数是总数,减数和差分别是部分数。 3 整数乘法: 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。 在乘法里,0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。 一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数 4 整数除法: 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。 在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。 在除法里,0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0,所以任何一个数除以0,均得不到一个确定的商。 被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 (二)小数四则运算 1. 小数加法: 小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。 2. 小数减法: 小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算. 3. 小数乘法: 小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算; 一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 4. 小数除法: 小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 (三)分数四则运算 1. 分数加法: 分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。 2. 分数减法: 分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。 3. 分数乘法: 分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。 4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 5. 分数除法: 分数除法的意义与整数除法的意义相同。 就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。 (四)运算定律 1. 加法交换律: 两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变,即a+b=b+a 。 2. 加法结合律: 三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即(a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律: 两个数相乘,交换因数的位置它们的积不变,即a×b=b×a。 4. 乘法结合律: 三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律: 两个数的和与一个数相乘,可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加,即(a+b)×c=a×c+b×c 。 6. 减法的性质: 从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去所有减数的和,差不变,即a-b-c=a-(b+c) 。 (五)运算法则 1. 回顾整数加法、减法、乘法的计算法则: 2. 整数除法计算法则: 先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位; 如果不够除,就多看一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1,要补"0"占位。每次除得的余数要小于除数。 (商/积/线/余/下) 3. 小数乘法法则: 先按照整数乘法的计算法则算出积,再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;如果位数不够,就用"0"补足。 4. 除数是整数的小数除法计算法则: 先按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添"0",再继续除。 5. 除数是小数的除法计算法则: 先移动除数的小数点,使它变成整数,除数的小数点也向右移动几位(位数不够的补"0"),然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 6. 异分母分数加减法计算方法: 先通分,然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。 7. 带分数加减法的计算方法: 整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来。 10. 分数乘法的计算法则: 分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。 12. 分数除法的计算法则: 甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 (六) 运算顺序 1. 没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算;两级运算 先算乘、除法,后算加减法。 2. 有括号的混合运算:先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。 第二章 度量衡 一 长度 单位之间的换算 * 1厘米 =10 毫米 * 1分米 =10 厘米 * 1米 =1000 毫米 * 1千米 = 1000 米 二 面积 (一)什么是面积 面积,就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。 (二)常用的面积单位 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米 (三)面积单位的换算 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米 =100 平方分米 * 1公倾 =10000 平方米 * 1平方千米 =100 公顷 三 体积和容积 (一)什么是体积、容积 体积,就是物体所占空间的大小。 容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。 (二)常用单位 1 体积单位 - 立方米 - 立方分米 - 立方厘米 2 容积单位 - 升 - 毫升 (三)单位换算 1 体积单位 - 1立方米=1000立方分米 - 1立方分米=1000立方厘米 2 容积单位 - 1升 =1000毫升 - 1升 =1立方米 - 1毫升=1立方厘米 四 质量 - 1吨=1000千克 - 1千克 = 1000克 五 时间 - 1世纪=100年 - 1年=365天 平年 - 1年=366天 闰年 - 1天= 24小时 - 1小时=60分 - 1分=60秒 第三章 代数初步知识 一 用字母表示数 1 用字母表示数的意义和作用 - 用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。 2 用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 (1)常见的数量关系 路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系: s=vt v=s/t t=s/v 总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系: a=bc b=a/c c=a/b (2)运算定律和性质 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:ab=ba 乘法结合律:(ab)c=a(bc) 乘法分配律:(a+b)c=ac+bc 减法的性质:a-(b+c) =a-b-c (3)用字母表示几何形体的公式 长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。 c=2(a+b) s=ab 正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。 c= 4a s=a² 平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。 s=ah 三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。 s=ah/2 梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,面积用s表示。 s=(a+b)h/2 圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。 c=∏d=2∏r s=∏ r² 扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。 s=∏ nr²/360 长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。 v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh 正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示, 体积用v表示. s= 6a ² v=a³ 圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示, 体积用v表示. s侧=ch s表=s侧+2s底 v=sh 圆锥的高用h表示,底面积用s表示, 体积用v表示. v=sh/3 3 用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作".",或者省略不写,数字要写在字母的前面。 当"1"与任何字母相乘时,"1"省略不写。 4 、将数值代入式子求值 把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是数,后面不写单位名称。 二 简易方程 (一)方程和方程的解 1、方程:含有未知数的等式叫做方程。 注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。 方程和算术式不同。算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时 ,方程才成立 。 2 、方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。 三 解方程 解方程,求方程的解的过程叫做解方程。 四 列方程解应用题 先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。 五 比和比例 1比的意义和性质 (1) 比的意义 两个数相除又叫做两个数的比。 ":"是比号,读作"比"。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。 同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。 比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。 比的后项不能是零。 根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。 (2)比的性质 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。 (3) 求比值和化简比 求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。 (4)比例尺 图上距离:实际距离=比例尺 要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。 线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。 (5)按比例分配 在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。 方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。 2 比例的意义和性质 (1) 比例的意义 表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数,叫做比例的项。 两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。 (2)比例的性质 在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。 (3)解比例 根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。 3 正比例和反比例 (1) 成正比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示y/x=k(一定) (2)成反比例的量 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示x乘y=k(一定) 第四章 几何的初步知识 一 线和角 (1)线 - 直线 直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条,过两点只能画一条直线。 - 射线 射线只有一个端点;长度无限。 - 线段 线段有两个端点,它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中,线段为最短。 - 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 - 垂线 两条直线相交成直角时,这两条直线叫做互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 (2)角 (1)从一点引出两条射线,所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。 (2)角的分类 锐角:小于90°的角叫做锐角。 钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角。 1个周角(360度)=2个平角(180度)=4个直角(90度)。 二 平面图形 1 长方形 (1)特征 对边相等,4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 (2)计算公式 c=2(a+b) s=ab 2 正方形 (1)特征: 四条边都相等,四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 (2)计算公式 c= 4a s=a² 3 三角形 (1)特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 (2)计算公式 s=ah/2 (3) 分类 按角分 锐角三角形 :三个角都是锐角。 直角三角形 :有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度,它有一条对称轴。 钝角三角形:有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形:三条边长度不相等。 等腰三角形:有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。 等边三角形:三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。 4 平行四边形 (1) 特征 两组对边分别平行的四边形。相对的边平行且相等。对角相等,相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 (2) 计算公式 s=ah 5 梯形 (1)特征 只有一组对边平行的四边形。 等腰梯形有一条对称轴。 (2) 公式 s=(a+b)h/2 6 圆 (1) 圆的认识 同一个圆里,直径等于两个半径的长度,即d=2r。 圆的大小由半径决定。 圆有无数条对称轴。 (2)圆的画法 把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离(即半径); 把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上; (3) 圆的周长 围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。 (4) 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 (5)计算公式 d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r² 7 圆环 (1) 特征 由两个半径不相等的同心圆相减而成,有无数条对称轴。 (2) 计算公式 s=∏(R²-r²) 9、轴对称图形 (1) 特征 如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 正方形有4条对称轴, 长方形有2条对称轴。 等腰三角形有2条对称轴,等边三角形有3条对称轴。 等腰梯形有一条对称轴,圆有无数条对称轴。 三 立体图形 (一)长方体 1 特征 六个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形)。 相对的面面积相等,12条棱相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 把长方体放在桌面上,最多只能看到三个面。 长方体或者正方体6个面的总面积,叫做它的表面积。 2 计算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh (二)正方体 S表= 6a ² v=a³ (三)圆柱 1 圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。 进一法:实际中,使用的材料都要比计算的结果多一些 ,因此,要保留数的时候,省略的位上的是4或者比4小,都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。 2 计算公式 s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3 (四)圆锥 1 圆锥的认识 圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 2 计算公式 v= sh/3 第五章 简单的统计 一 统计表 二 统计图 (一)意义 - 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。 (二)分类 1 条形统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直线按一定的顺序排列起来。 优点:很容易看出各种数量的多少。 2 折线统计图 用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来。 优点:不但可以表示数量的多少,而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 3 扇形统计图 用整个圆的面积表示总数,用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 优点:很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。 *第六章 应用 1 解答加法应用题: a:求总数的应用题:已知甲数是多少,乙数是多少,求甲乙两数的和是多少。 b:求比一个数多几的数应用题:已知甲数是多少和乙数比甲数多多少,求乙数是多少。 2 解答减法应用题: a:求剩余的应用题:从已知数中去掉一部分,求剩下的部分。 b:求两个数相差的多少的应用题:已知甲乙两数各是多少,求甲数比乙数多多少,或乙数比甲数少多少。 c:求比一个数少几的数的应用题:已知甲数是多少,,乙数比甲数少多少,求乙数是多少。 3 解答乘法应用题: a:求相同加数和的应用题:已知相同的加数和相同加数的个数,求总数。 b:求一个数的几倍是多少的应用题:已知一个数是多少,另一个数是它的几倍,求另一个数是多少。 4 解答除法应用题: a:把一个数平均分成几份,求每一份是多少的应用题:已知一个数和把这个数平均分成几份的,求每一份是多少。 b:求一个数里包含几个另一个数的应用题:已知一个数和每份是多少,求可以分成几份。 C:求一个数是另一个数的的几倍的应用题:已知甲数乙数各是多少,求较大数是较小数的几倍。 d:已知一个数的几倍是多少,求这个数的应用题。 5 常见的数量关系: 总价= 单价×数量 路程= 速度×时间 二/ 小学数学典型应用题归纳汇总 30 种题型 1 归一问题(除法) 【含义】 在解题时,先求出一份是多少(即单一量) ,然后以单一量为标准,求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量÷份数= 1 份数量 1 份数量×所占份数=所求几份的数量 另一总量÷(总量÷份数)=所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量,以单一量为标准,求出所要求的数量。 例1:买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱? 解: (1)买 1 支铅笔多少钱? 0.6÷5=0.12 (元) (2)买 16 支铅笔需要多少钱? 0.12×16=1.92(元) 列成综合算式 0.6 ÷5 ×16 = 0.12 ×16 = 1.92 (元) 答:需要 1.92 元。 2 归总问题(乘法) 【含义】解题时,常常先找出“总数量” ,然后再根据其它条件算出所求的问题,叫 归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时(几天)的总工作量、几公亩地上的总 产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】 1 份数量×份数=总量 总量÷1 份数量=份数 总量÷份数=每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量,再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米,改进裁剪方法后,每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布,现在可以做多少套? 解: (1)这批布总共有多少米? 3.2×791=2531.2 (米) (2)现在可以做多少套? 2531.2 ÷2.8 =904 (套) 列成综合算式 3.2 ×791 ÷2.8=904 (套) 答:现在可以做 904 套。。 3 和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差,求这两个数量各是多少,这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数=(和+差)÷ 2 小数=(和-差)÷ 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式;复杂的题目变通后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人,甲班比乙班多 6 人,求两班各有多少人? 解: 甲班人数=( 98+6)÷2=52(人) 乙班人数=( 98-6)÷2=46(人) 答:甲班有 52 人,乙班有 46 人。 4 和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几) 个数各是多少,这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和 ÷(几倍+ 1)=较小的数 总和 - 较小的数 = 较大的数 较小的数 ×几倍 = 较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵,桃树的棵数是杏树的 3 倍,求杏树、桃树各多少棵? 解: (1)杏树有多少棵? 248 ÷(3+1)=62(棵) (2)桃树有多少棵? 62×3=186 (棵) 答:杏树有 62 棵,桃树有 186 棵。 5 差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍(或小数是大数的几分之几),要求这两个数各是多少,这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差÷(几倍- 1)=较小的数 较小的数×几倍=较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍,而且桃树比杏树多124 棵。要求这两杏树、桃树各多少棵? 解: ( 1)杏树有多少棵? 124 ÷(3- 1 )= 62 (棵) ( 2)桃树有多少棵? 62 ×3= 186 (棵) 答:果园里杏树是 62 棵,桃树是 186 棵。 6 倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量, 其中一个量是另一个量的若干倍, 解题时先求出这个倍数,再用倍比的方法算出要求的数,这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量÷一个数量=倍数 另一个数量×倍数=另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数,再用倍比关系求出要求的数。 例1: 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克,现在有油菜籽 3700 千克,可以榨油多少? 解: (1) 3700 千克是 100 千克的多少倍? 3700 ÷100 = 37 (倍) (2)可以榨油多少千克? 40 ×37 = 1480 (千克) (3) 列成综合算式 40 ×(3700 ÷100 )= 1480 (千克) 答:可以榨油 1480 千克。 7 相遇问题 【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行,在途中相遇。 这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间=总路程÷(甲速+乙速) 总路程=(甲速+乙速)×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例 1 南京到上海的水路长 392 千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开 出的船每小时行 28 千米,从上海开出的船每小时行 21 千米,经过几小时两船相遇? 解: 392 ÷(28+21)= 8(小时) 答:经过 8 小时两船相遇。 8 追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发 (或者在同一地点而不是同时出发, 或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动,在后面的,行进速度要快些,在前面的,行进速度较慢些,在一定时间之内,后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间=追及路程÷(快速-慢速) 追及路程=(快速-慢速)×追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米, 劣马每天走 75 千米, 劣马先走 12 天, 好马几天能追上劣马? 解 (1) 劣马先走 12 天能走多少千米? 75 ×12 =900 (千米) (2) 好马几天追上劣马? 900 ÷(120 - 75 )= 20 (天) (3) 列成综合算式 75 ×12 ÷(120 -75 )= 900 ÷45 =20 (天) 答:好马 20 天能追上劣马。 9 植树问题 【含义】 按相等的距离植树,在距离、棵距、棵数这三个量之间,已知其中的两个量, 要求第三个量,这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树: 棵数=距离÷棵距+ 1 环形植树: 棵数=距离÷棵距 方形植树: 棵数=距离÷棵距- 4 三角形植树: 棵数=距离÷棵距- 3 面积植树: 棵数=面积÷(棵距×行距) 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型,然后可以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米,每隔 2 米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? 解: 136 ÷2+1=68+1=69(棵) 答:一共要栽 69 棵垂柳。 10 年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名, 它的主要特点是两人的年龄差不变, 但是, 两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系,尤其与差倍问题的解题思路是一致的,要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁,亮亮今年 5 岁,今年爸爸的年龄是亮亮的几倍?明年呢? 解: 35 ÷5=7(倍) (35+1 )÷(5+1 )= 6(倍) 答:今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍, 明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 11 行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。 船只本身航行的速度, 也就是船只在静水中航行的速度; 水速是水流的速度, 船只顺水航行 的速度是船速与水速之和; 船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 解答这类问题要弄清船速与水速, 船速是 (顺水速度+逆水速度)÷ 2 =船速 (顺水速度-逆水速度)÷ 2=水速 顺水速=船速× 2-逆水速=逆水速+水速× 2 逆水速=船速× 2-顺水速=顺水速-水速× 2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1: 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时,水流速度为每小时15 千米,这只船逆水行这段路程需用几小时? 解: 由条件知,顺水速=船速+水速= 320 ÷8,而水速为每小时15千米, 所以船速为每小时 320 ÷8-15=25(千米) 船的逆水速为 25 - 15 = 10 (千米) 船逆水行这段路程的时间为 320 ÷10=32(小时) 答:这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 12 列车问题 【含义】这是与列车行驶有关的一些问题,解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥:过桥时间=(车长+桥长)÷车速 火车追及: 追及时间=(甲车长+乙车长+距离) ÷(甲车速-乙车速) 火车相遇: 相遇时间=(甲车长+乙车长+距离) ÷(甲车速+乙车速) 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例1: 一座大桥长 2400 米,一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥,从车头开上桥 到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米? 解: 火车 3 分钟所行的路程,就是桥长与火车车身长度的和。 ( 1)火车 3 分钟行多少米? 900 ×3 = 2700 (米) (2)这列火车长多少米? \ 2700 -2400 =300(米) (3)列成综合算式 900 ×3-2400 =300 (米) 答:这列火车长 300 米。 13 时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题, 如两针重合、 两针垂直、 两针成一线、 两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍, 二者的速度差为 11/12 。 通常按追及问题来对待,也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例1 从时针指向 4 点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合? 解: 钟面的一周分为 60 格,分针每分钟走一格,每小时走 60 格; 时针每小时走5 格,每分钟走 5/60 = 1/12 格。 每分钟分针比时针多走( 1 - 1/12 )= 11/12 格。 4 点整,时针在 前,分针在后,两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20÷(1-1/12 )≈ 22(分) 答:再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 14 盈亏问题 【含义】 根据一定的人数,分配一定的物品,在两次分配中,一次有余(盈) ,一次不足(亏),或两次都有余,或两次都不足,求人数或物品数,这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说,在两次分配中,如果一次盈,一次亏,则有: 参加分配总人数=(盈+亏)÷分配差 如果两次都盈或都亏,则有:参加分配总人数=(大盈-小盈)÷分配差 参加分配总人数=(大亏-小亏)÷分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分 3 个就余 11 个;若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友?有多少个苹果? 解 按照“参加分配的总人数=(盈+亏)÷分配差”的数量关系: (1)有小朋友多少人? (11 + 1)÷(4-3)= 12(人) (2)有多少个苹果? 3×12 +11 =47(个) 答:有小朋友 12 人,有 47 个苹果。 15 工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、 工作效率和工作时间三者之间的关系。 这类问题在 已知条件中, 常常不给出工作量的具体数量, 只提出“一项工程” 、“一块土地” 、“一条水渠” 、 “一件工作”等,在解题时,常常用单位“ 1 ”表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“ 1 ”,这样,工作效率就是工作时 间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几) ,进而就可以根据工作量、工作效 率、工作时间三者之间的关系列出算式。 工作量=工作效率×工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率) 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例1: 一项工程,甲队单独做需要 10 天完成,乙队单独做需要 15 天完成,现在两队合作,需要几天完成? 解: 题中的“一项工程”是工作总量,由于没有给出这项工程的具体数量, 因此,把此项工 程看作单位“ 1 ”。由于甲队独做需 10 天完成,那么每天完成这项工程的 1/10 ; 乙队单独 做需 15 天完成,每天完成这项工程的 1/15 ; 两队合做,每天可以完成这项工程的( 1/10 +1/15 )。 由此可以列出算式: 1÷(1/10 +1/15 )= 1÷1/6 =6(天) 答:两队合做需要 6 天完成。 16 正反比例问题 【含义】 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定) , 那么这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定, 这两种量就叫做成反比例的量, 它们的关系叫做反比例关系。 反比例应用题是反比 例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。 许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决,而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是:把分率(倍数)转化为比,应用比和 比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例1: 修一条公路,已修的是未修的 1/3 ,再修 300 米后,已修的变成未修的 1/2 ,求这条公路总长是多少米? 解: 由条件知,公路总长不变。 原已修长度∶总长度=1∶(1+3)= 1∶4=3∶12 现已修长度∶总长度=1∶(1+2)= 1∶3=4∶12 比较以上两式可知,把总长度当作12 份,则 300 米相当于( 4- 3)份, 从而知公路总长 为 300 ÷(4-3)×12=3600 (米) 答: 这条公路总长 3600 米。 17 按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配,就是把一个数按照一定的比分成若干份。 一般有两种形式: 一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数, 另一种是直接给出份数。 这类题的已知条件 【数量关系】 从条件看,已知总量和几个部分量的比;从问题看,求几个部分量各是多 少。 总份数=比的前后项之和 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几, 把比的前后项相加求出总份数,再求各部分占总量的几分之几(以总份数作分母,比的前后项分别作分子) ,再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法,分别求出各部分量的值。 例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有 47 人,二班有 48 人,三班有 45 人,三个班各植树多少棵? 解: 总份数为 47+48+45=140 一班植树 560 ×47/140=188 (棵) 二班植树 560 ×48/140=192 (棵) 三班植树 560 ×45/140=180 (棵) 答:一、二、三班分别植树188 棵、 192棵、 180 棵。 18 百分数问题 【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。 百分数是一种特殊的分数。 分数常常可以通分、约分,而百分数则无需;分数既可以表示“率” ,也可以表示“量” ,而 百分数只能表示“率” ;分数的分子、分母必须是自然数,而百分数的分子可以是小数;百 分数有一个专门的记号“ % ”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念,一个百分点就是 1% ,两个百分点就是 2% 。 【数量关系】 掌握“百分数” 、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系: 百分数=比较量÷标准量 标准量=比较量÷百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型: ( 1) 求一个数是另一个数的百分之几; ( 2) 已知一个数,求它的百分之几是多少; ( 3) 已知一个数的百分之几是多少,求这个数。 例 1 仓库里有一批化肥, 用去 720 千克, 剩下 6480 千克, 用去的与剩下的各占原重量 的百分之几? 解 (1)用去的占 720 ÷(720 +6480 )=10% (2)剩下的占 6480 ÷(720+6480 )=90% 答:用去了 10% ,剩下 90% 。 19 “牛吃草”问题 【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题,也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。 【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量×天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例1: 一块草地, 10 头牛 20 天可以把草吃完, 15 头牛 10 天可以把草吃完。 问多少头牛 5 天可以把草吃完? 解: 草是均匀生长的,所以,草总量=原有草量+草每天生长量×天数。 求“多少头牛5 天可以把草吃完” ,就是说 5 天内的草总量要 5 天吃完的话, 得有多少头牛? 设每头 牛每天吃草量为 1,按以下步骤解答: ( 1 )求草每天的生长量 因为, 一方面 20 天内的草总量就是 10 头牛 20 天所吃的草, 即( 1 ×10 ×20 ); 另一方面, 20 天内的草总量又等于原有草量加上 20 天内的生长量,所以1 ×10 ×20 =原有草量+ 20 天内生长量 同理 1 ×15 ×10 =原有草量+ 10 天内生长量 由此可知 ( 20 - 10 )天内草的生长量为 1×10 ×20-1×15×10 =50 因此,草每天的生长量为 50 ÷(20 - 10 )= 5 LH: (现有草 + 草每天生长量 * 5) / (所需牛数 * 牛每天吃草量) = 5 (天) 所需牛数 = (现有草 + 草每天生长量 * 5) / 5(天) / 牛每天吃草量 ? 现有草 草每天生长量 牛每天吃草量 (x + 20 * y)/(10 * z) = 20 => x+20y=200z (x + 10 * y)/(15 * z) = 10 => x+10y=150z => 10y=50z => y = 5z ?(x + 5 * y)/(n * z) = 5 => 20 鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚,求鸡、兔 各有多少只的问题, 叫做第一鸡兔同笼问题。 已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差, 求鸡、兔 各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】第一鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数=(实际脚数- 2×鸡兔总数)÷( 4-2) 假设全都是兔,则有 鸡数=( 4 ×鸡兔总数-实际脚数)÷( 4 - 2) 第二鸡兔同笼问题: 假设全都是鸡,则有 兔数=( 2×鸡兔总数-鸡与兔脚之差)÷( 4+2) 假设全都是兔,则有 鸡数=( 4×鸡兔总数+鸡与兔脚之差)÷( 4+2) 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法, 可以先假设都是鸡, 也可以假设都 是兔。如果先假设都是鸡,然后以兔换鸡;如果先假设都是兔,然后以鸡换兔。这类问题也 叫置换问题。通过先假设,再置换,使问题得到解决。 例 1 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔 细算一算,多少兔子多少鸡? 解 假设 35 只全为兔,则 鸡数=( 4×35-94)÷(4-2)=23(只) 兔数= 35 -23 =12 (只) 也可以先假设 35 只全为鸡,则 兔数=( 94-2×35)÷(4-2)=12(只) 鸡数= 35 -12 =23 (只) 答:有鸡 23 只,有兔 12 只。 21 方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形 (简称方阵) ,根据已知条件求总人数或 总物数,这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】 ( 1 )方阵每边人数与四周人数的关系: 四周人数=(每边人数- 1 )×4 每边人数=四周人数÷ 4 + 1 (2 )方阵总人数的求法: 实心方阵:总人数=每边人数×每边人数 空心方阵:总人数=(外边人数) -(内边人数) 内边人数=外边人数-层数× 2 (3 )若将空心方阵分成四个相等的矩形计算,则: 总人数=(每边人数-层数)×层数× 4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。 实心方阵的求法是以每边的数自乘; 空心方阵的变化较多,其解答方法应根据具体情况确定。 例 1 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行 22 人,参加体操 表演的同学一共有多少人? 解 22×22=484 (人) 答:参加体操表演的同学一共有 484 人。 22 商品利润问题 【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题,包括成本、利润、利润率和亏损、 亏损率等方面的问题。 【数量关系】 利润=售价-进货价 利润率=(售价-进货价)÷进货价× 100% 售价=进货价×( 1 +利润率) 亏损=进货价-售价 亏损率=(进货价-售价)÷进货价× 100% 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式,复杂的题目变通后利用公式。 例 1 某商品的平均价格在一月份上调了 10% ,到二月份又下调了 10% ,这种商品从 原价到二月份的价格变动情况如何? 解 设这种商品的原价为 1,则一月份售价为( 1+10% ),二月份的售价为( 1+10% )× (1 -10% ),所以二月份售价比原价下降了 1-( 1+10% )×( 1-10% )= 1% 答:二月份比原价下降了 1% 。 23 存款利率问题 【含义】 把钱存入银行是有一定利息的,利息的多少,与本金、利率、存期这三个因 素有关。 利率一般有年利率和月利率两种。 年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分 数;月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。 【数量关系】 年(月)利率=利息÷本金÷存款年(月)数× 100% 利息=本金×存款年(月)数×年(月)利率 本利和=本金+利息 =本金×[ 1+年(月)利率×存款年(月)数] 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例 1 李大强存入银行 1200 元,月利率 0.8% ,到期后连本带利共取出 1488 元,求 存款期多长。 解 因为存款期内的总利息是( 1488 -1200 )元, 所以总利率为 (1488 -1200 )÷1200 又因为已知月利率, 所以存款月数为 ( 1488 - 1200 )÷1200 ÷0.8% = 30 (月) 答:李大强的存款期是 30 月即两年半。 24 溶液浓度问题 【含义】 在生产和生活中,我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶 剂(水或其它液体) 、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如,水是一种溶剂,被溶解的 东西叫溶质, 溶解后的混合物叫溶液。 溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度, 也叫百 分比浓度。 【数量关系】 溶液=溶剂+溶质 浓度=溶质÷溶液× 100% 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式,复杂的题目变通后再利用公式。 例 1 爷爷有 16% 的糖水 50 克,(1)要把它稀释成 10% 的糖水, 需加水多少克? (2) 若要把它变成 30% 的糖水,需加糖多少克? 解 (1 )需要加水多少克? 50 ×16% ÷10% - 50 = 30 (克) (2)需要加糖多少克? 50×(1-16% )÷(1-30%)- 50 =10(克) 答:(1)需要加水 30 克,(2)需要加糖 10 克。 25 构图布数问题 【含义】 这是一种数学游戏,也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图” ,就是设 计出一种图形;所谓“布数” ,就是把一定的数字填入图中。 “构图布数”问题的关键是要符 合所给的条件。 【数量关系】 根据不同题目的要求而定。 【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题 意来构图布数,符合题目所给的条件。 例 1 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。 解 符合题目要求的图形应是一个五角星。 4×5÷2=10 因为五角星的 5 条边交叉重复,应减去一半。 26 幻方问题 【含义】 把 n×n 个自然数排在正方形的格子中, 使各行、 各列以及对角线上的各数之 和都相等,这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。 【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等,这个“和”叫做“幻和” 。 三级幻方的幻和= 45 ÷3 = 15 五级幻方的幻和= 325 ÷5=65 【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和) ,其次 是确定正中间方格的数,然后再确定其它方格中的数。 例 1 把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每 条对角线上三个数的和相等。 解 幻和的 3 倍正好等于这九个数的和,所以幻和为 (1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15 九个数在这八条线上反复出现构成幻和时,每个数用到的次数不全相同,最中心的那个数 要用到四次 (即出现在中行、 中列、和两条对角线这四条线上) ,四角的四个数各用到三次, 其余的四个数各用到两次。看来,用到四次的“中心数”地位重要,宜优先考虑。 设“中心数”为Χ,因为Χ出现在四条线上,而每条线上三个数之和等于 2+3+4+5+6+7+8+9)+( 4-1)Χ=15×4 276 951 438 即 45+3Χ=60 所以 Χ=5 接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置,它们 分别在四个角,再确定其余四个奇数的位置,它们分别 在中行、中列,进一步尝试,容易得到正确的结果。 27 抽屉原则问题 【含义】 把 3 只苹果放进两个抽屉中,会出现哪些结果呢?要么把 15 ,所以 ( 1 + 2 只苹果放进一个 抽屉,剩下的一个放进另一个抽屉;要么把 3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可 用一句话表示:一定有一个抽屉中放了 2 只或 2 只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则 问题。 【数量关系】 基本的抽屉原则是:如果把 n+1 个物体(也叫元素)放到 n 个抽屉中, 那么至少有一个抽屉中放着 2 个或更多的物体(元素) 。 抽屉原则可以推广为:如果有 m 个抽屉,有 k ×m + r ( 0 < r ≤m )个元素那么至少有一个 抽屉中要放( k + 1 )个或更多的元素。 通俗地说,如果元素的个数是抽屉个数的 k 倍多一些,那么至少有一个抽屉要放( k+1) 个或更多的元素。 【解题思路和方法】 ( 1 )改造抽屉,指出元素; ( 2)把元素放入(或取出)抽屉; ( 3)说明理由,得出结论。 例 1 育才小学有 367 个 1999 年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同 一天的? 解 由于 1999 年是润年,全年共有 366 天,可以看作 366 个“抽屉”,把 367 个 1999 年出生的学生看作 367 个“元素”。367 个“元素” 放进 366 个“抽屉” 中,至少有一个 “抽 屉”中放有 2 个或更多的“元素” 。 这说明至少有 2 个学生的生日是同一天的。 28 公约公倍问题 【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。 【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。 【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数, 再求出答案。 最大 公约数和最小公倍数的求法,最常用的是“短除法” 。 例 1 一张硬纸板长 60 厘米,宽 56 厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的 正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少? 解 硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。 60 和 56 的最大公约数是 4。 答:正方形的边长是 4 厘米。 29 最值问题 【含义】 科学的发展观认为,国民经济的发展既要讲求效率,又要节约能源,要少花 钱多办事,办好事,以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。 【数量关系】 一般是求最大值或最小值。 【解题思路和方法】 按照题目的要求,求出最大值或最小值。 例 1 在火炉上烤饼, 饼的两面都要烤, 每烤一面需要 3 分钟,炉上只能同时放两块饼, 现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟? 解 先将两块饼同时放上烤, 3 分钟后都熟了一面, 这时将第一块饼取出, 放入第三块饼, 翻过第二块饼。再过 3 分钟取出熟了的第二块饼,翻过第三块饼,又放入第一块饼烤另一 面,再烤 3 分钟即可。这样做,用的时间最少,为 9 分钟。 答:最少需要 9 分钟。 30 列方程问题 【含义】 把应用题中的未知数用字母Χ代替,根据等量关系列出含有未知数的等式— —方程,通过解这个方程而得到应用题的答案,这个过程,就叫做列方程解应用题。 【数量关系】 方程的等号两边数量相等。 【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。 ( 1 )审:认真审题,弄清应用题中的已知量和未知量各是什么,问题中的等量关系是什 么。 ( 2 )设:把应用题中的未知数设为Χ。 ( 3 )列;根据所设的未知数和题目中的已知条件,按照等量关系列出方程。 ( 4 )解;求出所列方程的解。 ( 5 )验:检验方程的解是否正确,是否符合题意。 ( 6 )答:回答题目所问,也就是写出答问的话。 同学们在列方程解应用题时, 一般只写出四项内容, 即设未知数、 列方程、 解方程、 答语。 设未知数时要在Χ后面写上单位名称,在方程中已知数和未知数都不带单位名称,求出的Χ 值也不带单位名称,在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出,但必须检验。 例 1 甲乙两班共 90 人,甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人,求两班各有多少人? 解 第一种方法:设乙班有Χ人,则甲班有( 90 -Χ)人。 找等量关系:甲班人数=乙班人数× 2 -30 人。 列方程: 90 -Χ=2 Χ-30 解方程得 Χ=40 从而知 90-Χ=50 第二种方法:设乙班有Χ人,则甲班有( 2Χ-30)人。 列方程 ( 2Χ-30 )+Χ= 90 解方程得 Χ=40 从而得知 2Χ-30=50 答:甲班有: 50 三/ 30类数学应用题 解题思路: (1,定题型/2,定方法) 1: 买5支铅笔要0.6元钱,买同样的铅笔16支,需要多少钱? - 定题型 - 定公式 2: 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米,改进裁剪方法后,每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套衣服的布,现在可以做多少套? - 定题型 - 定公式 3: 甲乙两班共有学生 98 人,甲班比乙班多 6 人,求两班各有多少人? - 定题型 - 定公式 4: 果园里有杏树和桃树共 248 棵,桃树的棵数是杏树的 3 倍,求杏树、桃树各多少棵? - 定题型 - 定公式 5: 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍,而且桃树比杏树多124 棵。要求杏树、桃树各多少棵? - 定题型 - 定公式 6: 100 千克油菜籽可以榨油 40 千克,现在有油菜籽 3700 千克,可以榨油多少? - 定题型 - 定公式 7: 南京到上海的水路长 392 千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开 出的船每小时行 28 千米,从上海开出的船每小时行 21 千米,经过几小时两船相遇? - 定题型 - 定公式 8: 好马每天走 120 千米, 劣马每天走 75 千米, 劣马先走 12 天, 好马几天能追上劣马? - 定题型 - 定公式 9: 一条河堤 136 米,每隔 2 米栽一棵垂柳,头尾都栽,一共要栽多少棵垂柳? - 定题型 - 定公式 10: 今年, 爸爸的年龄是小明的年龄和是36岁, 差是28岁, 请问爸爸的年龄是小明的5倍的时候, 小明几岁? - 定题型 - 定公式 11: 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时,水流速度为每小时15 千米,这只船逆水行这段路程需用几小时? - 定题型 - 定公式 12: 一座大桥长 2400 米,一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥,从车头开上桥 到车尾离开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米? - 定题型 - 定公式 13*: 从时针指向 4 点开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合? - 定题型 - 定公式 14: 给幼儿园小朋友分苹果,若每人分 3 个就余 11 个;若每人分 4 个就少 1 个。问有多少小朋友?有多少个苹果? - 定题型 - 定公式 15: 一项工程,甲队单独做需要 10 天完成,乙队单独做需要 15 天完成,现在两队合作,需要几天完成? - 定题型 - 定公式 16: 修一条公路,已修的是未修的 1/3 ,再修 300 米后,已修的变成未修的 1/2 ,求这条公路总长是多少米? - 定题型 - 定公式 17: 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班,已知一班有 47 人,二班有 48 人,三班有 45 人,三个班各植树多少棵? - 定题型 - 定公式 18: 仓库里有一批化肥, 用去 720 千克, 剩下 6480 千克, 用去的与剩下的各占原重量 的百分之几? - 定题型 - 定公式 19*: 一块草地, 10 头牛 20 天可以把草吃完, 15 头牛 10 天可以把草吃完。 问多少头牛 5 天可以把草吃完? - 定题型 - 定公式 20: 长毛兔子芦花鸡,鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五,脚数共有九十四。请你仔 细算一算,多少兔子多少鸡? - 定题型 - 定公式 21: 在育才小学的运动会上,进行体操表演的同学排成方阵,每行 22 人,参加体操表演的同学一共有多少人? - 定题型 - 定公式 22: 某商品的平均价格在一月份上调了 10% ,到二月份又下调了 10% ,这种商品从 原价到二月份的价格变动情况如何? - 定题型 - 定公式 23: 李大强存入银行 1200 元,月利率 0.8% ,到期后连本带利共取出 1488 元,求 存款期多长。 - 定题型 - 定公式 24: 爷爷有 16% 的糖水 50 克,(1)要把它稀释成 10% 的糖水, 需加水多少克? (2) 若要把它变成 30% 的糖水,需加糖多少克? - 定题型 - 定公式 25(X): 十棵树苗子,要栽五行子,每行四棵子,请你想法子。 - 定题型 - 定公式 26(X): 把 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这九个数填入九个方格中,使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。 - 定题型 - 定公式 27: 育才小学有 367 个 1999 年出生的学生,那么其中至少有几个学生的生日是同一天的? - 定题型 - 定公式 28: 一张硬纸板长 60 厘米,宽 56 厘米,现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的 正方形,不许有剩余。问正方形的边长是多少? - 定题型 - 定公式 29: 在火炉上烤饼, 饼的两面都要烤, 每烤一面需要 3 分钟,炉上只能同时放两块饼,现在需要烤三块饼,最少需要多少分钟? - 定题型 - 定公式 30: 甲乙两班共 90 人,甲班比乙班人数的 2 倍少 30 人,求两班各有多少人? - 定题型 - 定公式 1 语文 2 足球 - 足球训练的目的是比赛,不模拟实战的训练跟马戏团的杂耍一样 - 所有的训练都是为了实战 - 每一个训练动作,一定要在头脑中模拟,实战中怎么运用 - 为了训练而训练,浪费时间而事倍功半 - 足球比赛如果"打架" - 打"架"打的是架子 只有"王八拳"才时刻"重拳出击" 因为会浪费体力,也会失去重心,露出破绽 只有打散了对方的"架子"才会出"重拳" - 不能抬头踢球,跟闭着眼睛打架没有区别 - 进攻"架" 对手的"防守架"准备好以前找偷袭机会 对手的"防守架"准备好以后,用刺拳找防守"破绽" - 防守"架" "防守架"准备好以前防偷袭 - 不同位置对局势的判断方法 - 中场人员(总指挥 - 阅读比赛的能力) - 总体要求: - 时刻观察清楚场上局势 -观察能力/记忆能力 - 不允许丢失球权 -控球技术 - 根据场上局势做选择 -决策能力 - 不清楚场上局势(传球后观察 或 控球并观察) -传球能力/控球能力 - 一脚球和半脚球的能力 -传球能力/球感 - 进攻要求 - 进攻人员没有就位,但有一对一机会 1,前锋有机会:快速出球让进攻队员一对一 -快速传球技术 2,自己有机会:带球突破 -突破能力+体力 - 进攻人员没有就位,也没有一对一机会 - 控球或传球, 等待进攻人员就位 - 中场控制的任务 1,对手有破绽:攻击破绽 -观察能力 2,对手有弱点(相对*):攻击弱点(打爆为止) -观察能力 3,左右调度,让对手的防线露出破绽 -耐心 - 防守要求 - 等待防守人员就位 1,可以战术犯规,但不要伤人 - 前锋 - 没有一对一的机会,不要轻易过人 - 没有大片空地,不要轻易过人 - 丢球后马上疯抢,直到抢回球权 - 边锋 - 下底传中的好处: - 边路的空间比中路要大,防守比中路弱,所以下底比内切成功率更高 - 防守人员面向球门,破坏球的时间成本高 - 进攻队员面向球门,更容易射门 - 内切的技术要求: - 技术均衡 - 换边(左脚踢右路/右脚踢左路) - 后卫 - 没有能力只考虑大脚破坏,不要控球 - 没有协防,只卡人,不断球 - 严禁门前横传 - 最后一名后卫,只卡人和站射门线路,不断球,等待队友落位 - *盯人 只看人,不看球 - 关于技术和战术 - 头脑比技术更重要 - 过人技术再历害,但是方向选择是往人堆里面扎 - 比不上几个动作就能把控到没有防守队员的位置 - 反应速度比身体速度快 - 身体速度是相对的 - 头脑速度是绝对的 - 所有技术训练的目的: 以一敌二 - 能以一敌二,就能牵制两名防守队员,对手 - 要么减少一名进攻队员防守,降低球队攻击力 - 要么必定漏人 - 体能训练的目的: 一个人跑出两个人的距离 - 所有的战术的目的:形成局部以多打少 - 关于犯规: 犯规是为了达到战术目的,而不是情绪失控 3 时间观念 - 早起 - 固定事项在时间内完成